Автономная система дифференциальных уравнений

Автономная система дифференциальных уравнений (другое название: стационарная система дифференциальных уравнений) — частный случай системы дифференциальных уравнений, когда аргумент [math]\displaystyle{ t }[/math] системы не входит явным образом в функции, задающие систему.

Автономная система в нормальном виде (её также называют динамической системой) имеет вид:

[math]\displaystyle{ \frac{dx_k}{dt} = f_k(x_1, ..., x_n),\,k = 1, ..., n }[/math]

или в векторной записи:

[math]\displaystyle{ \frac{d\bar{x}}{dt} = \bar{f}(\bar{x}) }[/math]

Приведение к автономному виду

Любую систему дифференциальных уравнений можно свести к автономной, введя дополнительную вспомогательную функцию [math]\displaystyle{ x_{n+1} }[/math], заменив ею аргумент [math]\displaystyle{ t }[/math] там, где он входит явно, и дополнив систему ещё одним уравнением [math]\displaystyle{ \frac{dx_{n+1}}{dt} = 1 }[/math]. Такая замена, однако, имеет преимущественно теоретическое значение, так как увеличивает размерность системы с [math]\displaystyle{ n }[/math] на [math]\displaystyle{ n+1 }[/math], что усложняет структуру семейства решений. Встречается, впрочем, и практический интерес такой замены. В численных методах для жестких систем бывает удобно перейти к аргументу «длина дуги», это производится следующим соотношением [math]\displaystyle{ d l = \sqrt{dt^2 + \sum\limits_{i=1}^{n}dx_i^2} }[/math], которое, фактически, является длиной дуги интегральной кривой в n+1-мерном пространстве.

Свойства автономной системы

Если [math]\displaystyle{ \bar{x} = \bar{x}(t) }[/math] — решение автономной системы дифференциальных уравнений (в векторном виде), то эта функция остаётся решением и при сдвиге аргумента. Автономная система моделирует автономные процессы, то есть процесс, не подверженные внешним влияниям, и стационарные процессы, то есть процессы, установившиеся во времени. Все эти процессы полностью определяются начальными значениями переменных состояния, то есть [math]\displaystyle{ x_1,\dots,x_n }[/math], и не зависят от выбора начального значения аргумента [math]\displaystyle{ t }[/math].

См. также

• Однородная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
• Однозначная разрешимость задачи Коши для системы линейных дифференциальных уравнений
• Отклонение решений автономной системы

Ссылки

• В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения.